Boethius và các học trò


    Mối quan tâm đến toán học của châu Âu Trung cổ là do nhiều lý do rất khác so với của các nhà toán học hiện đại. Một lý do đó là niềm tin rằng toán học là chìa khóa để hiểu được thứ bậc trong tự nhiên, thường được đánh giá trong cuộc đối thoại Timaeus của Plato và chuyến đi lớn mà Chúa đã "sắp xếp tất cả mọi thứ theo kích thước, số lượng, và cân nặng" (Wisdom 11:21).



Thời kì Trung cổ sơ khai (khoảng 300-1100)

     Boethius (480–524) đã dành một nơi cho toán học trong môn học khi ông đưa ra khái niệm "quadrivium" (tiếng Latinh: bốn con đường) để chỉ các môn số học, hình học, thiên văn học, và âm nhạc. Ông viết De institutione arithmetica, dịch thoáng nghĩa từ tiếng Hy Lạp tiêu đề của cuốn Introduction to Arithmetic của Nicomachus; De institutione musica, cũng phát triển từ gốc Hy Lạp; và một loạt các đoạn lấy từ cuốn Cơ sở của Euclid. Công trình của ông mang tính lý thuyết hơn là thực hành, và là công trình nền tảng của toán học cho đến khi các công trình toán học của Hy Lạp và A Rập được phục hồi.

Sự hồi sinh của toán học tại châu Âu (1100-1400)

     Vào thế kỉ 12, các nhà học giả Châu Âu đã chu du đến Tây Ban Nha và Sicily để tìm các văn bản tiếng A Rập, trong số chúng là cuốn Al-Jabr wa-al-Muqabilah của Al-Khwarizmi, được dịch thành tiếng Latinh bởi Robert of Chester và văn bản đầy đủ của cuốn Cơ sở của Euclid, được dịch thành rất nhiều phiên bản bởi Adelard of Bath, Herman of Carinthia, và Gerard of Cremona.
Fibonacci
     Những nguồn mới này lóe lên một thời kì hồi sinh của toán học. Fibonacci, vào đầu thế kỉ 13, đưa ra công trình toán học quan trọng đầu tiên ở châu Âu kể từ thời của Eratosthenes, một khoảng thời gian hơn một nghìn năm. Thế kỉ mười bốn đã chứng kiến sự phát triển của các khái niệm toán học mới để giải quyết một loạt bài toán. Một lĩnh vực quan trọng cống hiến cho sự phát triển của toán học đó là phân tích các chuyển động địa phương.
     Thomas Bradwardine đưa ra rằng vận tốc (V) tăng theo tỉ lệ số học khi tỉ số của lực (F) với lực cản (R) tăng theo số mũ. Bradwardine diễn tả điều này bằng một loạt các ví dụ cụ thể, nhưng mặc dù lôgarít thời đó chưa xuất hiện, ta có thể biểu diễn kết luận của ông dưới dạng V = log (F/R). Phân tích của Bradwardine là một ví dụ của việc chuyển đổi kĩ thuật toán học được sử dụng bởi al-KindiArnald of Villanova để định tính bản chất của thuốc trộn thành một bài toán vật lý khác.
     Là một người trong nhóm Oxford Calculators vào thế kỉ 14, William Heytesbury, thiếu giải tích vi phân và khái niệm giới hạn, đã đưa ra việc đo vận tốc tức thời "bằng con đường mà có thể được mô tả bởi một vật thể nếu... nó được dịch chuyển đi theo cùng một tốc độ mà với điều đó nó được di chuyển trong thời khắc đã cho".
     Heytesbury và những người khác đã xác định bằng toán học khoảng cách đi được của một vật thể chuyển động có gia tốc không đổi (mà ta có thể giải dễ dàng bằng Tích phân), nói rằng "một vật thể chuyển động mà nhận vận tốc giảm hoặc tăng không đổi sẽ đi trong một thời gian nào đó cho trước một khoảng cách hoàn toàn bằng với khoảng cách ấy mà sẽ đi được nếu nó đang chuyển động liên tục trong cùng một thời gian với tốc độ trung bình".
 
  
Nicole Oresme
Nicole Oresme tại Đại học ParisGiovanni di Casali người Italia độc lập với nhau đưa ra biểu diễn đồ thị của quan hệ này, thêm vào diện tích dưới đường thẳng biểu thị gia tốc không đổi, thể hiện tổng quãng đường đi được.  Trong một buổi thảo luận sau đó về cuốn Hình học của Euclid, Oresme đưa ra một phân tích chi tiết tổng quát trong đó ông nói rằng một vật thể sẽ nhận được trong mỗi số gia của thời gian một số gia của bất kì tính chất nào mà tăng như số lẻ. Do Euclid đã chứng minh tổng của các số lẻ là các số chính phương, tổng các tính chất đạt được bởi vật thể tăng theo bình phương thời gian.



Oresme đã đi trước Galileo trong việc nghiên cứu tích phân