Nếu có ai hỏi: cộng tất cả các số « tự nhiên », tức số « nguyên dương » : hay nói cách khác 1+2+3+4+5+6+7+ v.v… bằng bao nhiêu ? Bạn sẽ trả lời theo trực giác là : vô hạn, và mọi người sẽ cho rằng bạn có lý. 

Mọi người ? Trừ các nhà toán học. 

Theo họ thì 

1+2+3+4+5+6+7+ … bằng 1/12

Tức là công tất cả các số nguyên dương, cho đến vô hạn, cho ra một số âm, và số âm ấy lại là một phân số rất … bình thường !

Những áp dụng được kiểm nghiệm trong vật lý : 

Không những người ta có thể chứng minh được phương trình kỳ lạ này (xem phần sau), mà còn kiểm chứng được nó trong lĩnh vực vật lý, với hiệu ứng Casimir, được công bố năm 1949, mô tả lực hấp dẫn trong chân không, giữa hai mặt phẳng truyền dẫn song song, không điện thế. Lực này đến từ năng lượng của … chân không ! 

Trong công trình vừa nói, những tính toán của Casimir vấp phải dãy tính cộng : 1+2+3+4+5+ v.v… với kết quả  « trực giác » là vô hạn, tức một kết quả không có giá trị thực nghiệm. Điều này đưa « hành giả » đến hai chọn lựa :

- hoặc tin theo trực giác, cho là lý thuyết được đề ra là sai lầm, và vứt bỏ nó
- hoặc tìm một giải đáp cho dãy tính cộng vừa nói, thí dụ như … chấp nhận kết quả « trừ 1/12 » mà các nhà toán học đã chứng minh (*). 

Điều cần nhấn mạnh là phương trình kỳ lạ ấy, qua hiệu ứng Casimir đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm vào năm 1997, đem lại cho các nhà tư tưởng nhiều trăn trở, không những về Vô Hạn, mà cả về Chân Không …

Áp dụng trong « Lý Thuyết Dây » :

Phương trình quái dị này cũng được áp dụng trong thuyết dây, với không gian 26 chiều. Các nhà phát minh lý thuyết dây, loại « bosonique », gặp phải những kết quả vô hạn (không có giá trị vật lý) trong tất cả các phương trình của họ, trừ khi giả định là không gian có 26 chiều. 

Một cách cụ thể, thành tố cho ra kết quả vô hạn, tỷ lệ với :

A = [1+(D–2)/2 (1+2+3+4+5+ …) ]

Tức là chỉ cần áp dụng phương trình quái đản của chúng ta, đồng thời giả định số chiều D trong không gian là 26, thì A lập tức trở thành zero :

A = [1+(26–2)/2 (1+2+3+4+5+ …) ] = 1+[12 x (–1/12)] = 0

Và người ta không còn vướng víu với vô hạn nữa.

Cần nói là thuyết dây « bosonique » hiện bớt được quan tâm, nhường chỗ cho thuyết dây « siêu đối xứng », trong đó không gian « chỉ » còn 10 chiều …

Chứng minh toán học :

Gọi S = 1+2+3+4+5+56+7+ …

Chúng ta cần qua hai giai đoạn trung gian A và B.

  A     =    1−1+1−1+1−1+1− ...
−A     −1+1−1+1−1+1−1+ ...                      (đổi dấu)
1−A   =    1−1+1−1+1−1+1−1+1 ... = A
  2A   =   1
    A   =   1/2

    B       =   1−2+3−4+5−6+7- …

A+B       =    1−1+1−1+1−1+1− ...
                   +1−2+3−4+5−6+7- …
              =     2−3+4−5+6−7+8− …

−1+A+B   =  −1+2-3+4-5+6-7+ …
                =  −(1-2+3-4+5-6+7 …)  = −B

2B = 1−A
A   = 1./2
2B = 1−1/2
 B  = 1/4

Bây giờ chúng ta tính S

S = 1+2+3+4+5+6+7+ …

S−B =    1+2+3+4+5 +6 +7  +8 …
             -1+2−3+4−5 +6 −7  +8 …
        =    0+4+0+8+0+12+0+16 …    = 4+8+12+16 …    (toàn các nhân số của 4)
        = 4(1+2+3+4+5+6+7+ …)
        = 4S
S     = B+4S
3S   = −B         = −1/4

 S   = −1/12


Dãy số của ác quỷ : 

Chúng ta có quyền làm những con toán vừa được trình bày hay không ? Nhiều người cho rằng không. Một trong những lý do được viện dẫn là phép cộng trong bản chất chỉ àp dụng cho hai con số chính xác. Khi cộng nhiều số chúng ta giả định mình đã cộng sẵn những cặp số, và tập trung chúng vào hai số nhất định. Trong trường hợp một chuỗi số vô hạn, điều ấy có thể không « hợp pháp ». 

Thật ra, cộng một chuỗi số vô hạn đòi hỏi những xác định về phương pháp, khá phức tạp, nhưng không phải không thể biện minh. 

Nếu bạn tin vào các biện minh ấy thì bạn đã rơi vào tay … ác qu, như lời nhà toán học Abel (1802-1829), gọi các chuỗi số tương tự (chuỗi phân kỳ ) là : « sáng tạo của ác quỷ » …

Dù quỷ hay không, vẫn cần nhớ là nó đã được kiểm chứng bởi thực nghiệm !